Geometria, iteração e fractais: uma abordagem via Álgebra Linear

Abstract

Este trabalho tem como objetivo apresentar os conceitos de Álgebra Linear que fundamentam o estudo de transformações geométricas e sua aplicação na construção de fractais por meio de Sistemas Iterados de Funções (IFS). Inicialmente, são revisados conceitos fundamentais de espaços vetoriais, subespaços, dependência linear, bases, dimensão e transformações lineares, estabelecendo a base teórica necessária para o desenvolvimento do tema. Em seguida, são estudados operadores matriciais em R2, com destaque para reflexões, projeções, rotações, expansões, contrações e cisalhamentos, enfatizando sua interpretação geométrica e sua representação por matrizes. Também é introduzido o conceito de funções iteradas, essencial para a compreensão dos processos de construção fractal. Na sequência, são apresentados os principais conceitos relacionados à geometria fractal, incluindo autossimilaridade, dimensão e sistemas iterados de funções. A partir do estudo das semelhanças e das transformações a ns, discute-se como a aplicação repetida de transformações contrativas permite a geração de estruturas fractais clássicas, evidenciando a relação entre Álgebra Linear, Geometria e Fractais. Conclui-se então que os conceitos algébricos e geométricos estudados fornecem ferramentas fundamentais para a compreensão da construção e das propriedades dos fractais, demonstrando como estruturas matemáticas complexas podem surgir a partir da iteração de transformações relativamente simples.