Teoria da medida e integração: de Lebesgue à formulação abstrata

Abstract

O presente trabalho tem por objetivo construir a Integral de Lebesgue, revisitar o Teorema Fundamental do Cálculo sob o olhar desta integral e construir a integração em um espaço de medida abstrato, culminando na demonstração do Teorema de Radon-Nikodym. Para isso, exibimos inicialmente conceitos preliminares da Teoria da Medida de Lebesgue, como a medida exterior e a mensurabilidade de conjuntos. Em seguida, construiremos a Integral de Lebesgue por etapas e provaremos alguns resultados de convergência adequados. Para reexaminar o Teorema Fundamental do Cálculo iremos provar o Teorema da diferenciação de Lebesgue e apresentamos um estudo das funções de variação limitada e das funções absolutamente contínuas. Posteriormente, abordamos uma aplicação da teoria na retificabilidade de curvas e na desigualdade isoperimétrica. Por fim, generalizamos a estrutura para a Teoria da Medida Abstrata, definindo a integração em um espaço de medida, definindo a noção de medida com sinal e medida absolutamente contínua e, no fim provamos o Teorema de Radon-Nikodym.