Torneios de Paley

Abstract

O presente trabalho tem como objetivo estudar a estrutura algébrica e as propriedades combinatórias dos Torneios de Paley, uma classe específica de grafos orientados definidos sobre corpos finitos. Inicialmente, são estabelecidos os conceitos preliminares fundamentais, partindo das estruturas de anéis comutativos até a definição formal e classificação dos corpos finitos de ordem q = pn. O estudo aborda a caracterização aritmética dos resíduos quadráticos (quadrados perfeitos), distinguindo o comportamento em corpos de característica 2 e de característica ímpar. A partir dessa base, define-se a família geral dos Grafos de Paley, diferenciando o caso não direcionado (q ≡ 1 (mod 4)) do caso direcionado. O foco central recai sobre os Torneios de Paley, que ocorrem quando a ordem do corpo satisfaz a congruência q ≡ 3 (mod 4). Por fim, é apresentada a construção detalhada e a representação visual do Torneio de Paley de ordem 7 (P7), ilustrando a propriedade de antissimetria garantida pelo fato de −1 não ser um resíduo quadrático nesses corpos.