Licenciatura em Matemática (Sede)
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Item O teorema da função inversa e sua relação com as superfícies regulares(2023-09-18) Bezerra, Bruna Vitória Borges; Carvalho, Gilson Mamede de; http://lattes.cnpq.br/0044877127514130; http://lattes.cnpq.br/7230765885728286Este trabalho tem como principal objetivo estudar e estabelecer relações entre o Teorema da função inversa, que é apresentado no espaço Euclidiano Rn, com as superfícies regulares, no contexto da Geometria Diferencial. Vamos mostrar como um resultado oriundo do contexto da Análise matemática pode servir como base para introduzir um dos principais objetos de estudo da Geometria diferencial. Para essa construção, inicialmente abordaremos conceitos básicos envolvendo a topologia do espaço Euclidiano Rn, os quais se farão presente em todo o decorrer do texto. Em seguida, vamos apresentar as noções e resultados fundamentais sobre continuidade e diferenciabilidade no espaço Euclidiano n-dimensional e por fim, vamos introduzir as superfícies regulares juntamente com alguns resultados relevantes para estabelecer uma relação natural e esperada com a topologia dos espaços Euclidianos e o Teorema da função inversa.Item O Teorema Egregium(2024-02-29) Gomes, Heloisa Cardoso Barbosa; Gomes, Renato Teixeira; http://lattes.cnpq.br/0570606157057337; http://lattes.cnpq.br/8017333927762482Durante o desenvolvimento da geometria diferencial, por volta do século XVII, um antigo problema ocupava a mente dos matemáticos da época que era determinar se o chamado 5º postulado de Euclides era de fato um postulado ou um teorema. Tal postulado, que teve uma versão equivalente publicada em 1795, por John Playfair (1748–1819), diz que: por um ponto fora de uma reta dada, pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada". Houveram muitas tentativas de "provar"o quinto postulado, sendo que todas estas fracassaram. A resposta a esta questão foi dada anos mais tarde por Gauss, Lobachevski e Bolyai. Em sua obra Disquisitiones generales circa superficies curvas, Gauss mostra que a curvatura K(p) de uma superfície no ponto p, calculada inicialmente através do determinante da diferencial de dNp que depende das chamadas primeira e segunda formas fundamentais, depende na verdade apenas dos coeficientes da primeira forma fundamental e suas derivadas, e pode ser calculada através de uma fórmula que leva o seu nome, a chamada fórmula de Gauss. Como consequência desta fórmula, temos o chamado Teorema Egregium que afirma que a curvatura Gaussiana de uma superfície é um invariante intrínseco, isto é, não depende do ambiente a qual a superfície está e, consequentemente, é invariante por isometrias locais. Tal descoberta está intimamente relacionada com geometrias não euclidianas, visto que a geometria de uma superfície com curvatura não nula é não euclidiana. Uma consequência desse fato é que o 5º postulado é de fato um postulado e não um teorema. Neste trabalho, faremos um estudo dos conceitos necessários para a compreensão do teorema Egregium de Gauss e sua demonstração, além de algumas aplicações deste importante resultado.Item Um breve estudo sobre a geometria diferencial de superfícies em R3(2021-07-23) Santos, Túlio José de Souza; Gomes, Renato Teixeira; http://lattes.cnpq.br/0570606157057337; http://lattes.cnpq.br/5181696493328012Este trabalho tem como propósito fazer um breve estudo sobre a geometria diferencial de superfícies em R3, com objetivo de demonstrar o teorema de Gauss-Bonnet em sua versão local e global. Este relevante resultado relaciona a geometria e a topologia de superfícies em R3 e tem consequências bastante interessantes. Através dele, é possível dar uma resposta para um antigo problema de determinar se o quinto postulado de Euclides é um axioma ou um teorema. Na verdade, o que se obtém é que não há prejuízo em se negar o quinto postulado, isto é, supor que possa existir mais de uma ou nenhuma reta paralela a uma reta r passando por um ponto p fora de r. O que se encontra são "admiráveis mundos novos" que possuem geometrias distintas da Euclidiana.