O Teorema da Função Inversa e o Lema de Morse
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2025-08-07
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Resumo
Neste trabalho estudamos o Teorema da Função Inversa, uma das ferramentas centrais da análise matemática, e o utilizamos como base para apresentar e demonstrar o Lema de Morse. Para fundamentar esses resultados, desenvolvemos previamente os conceitos necessários, referentes à topologia do Rn, a continuidade e a diferenciabilidade de funções, com ênfase nos pontos críticos, no gradiente e no Teorema de Schwarz. Em seguida, demonstramos o Teorema da Função Inversa, o qual garante a existência de difeomorfismos locais sob condições adequadas, e o utilizamos para construir uma demonstração rigorosa do Lema de Morse. Esse Lema mostra que funções de classe Ck (k ≥ 3), em vizinhanças de pontos críticos não degenerados, podem ser localmente expressas como formas quadráticas por meio de mudanças de coordenadas de classe Ck−2.
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In this work, we study the Inverse Function Theorem, one of the central tools of mathematical analysis, and use it as a basis to present and prove Morse’s Lemma. To ground these results, we first develop the necessary concepts regarding the topology of Rn, continuity, and differentiability of functions, with emphasis on critical points, the gradient, and Schwarz’s Theorem. Subsequently, we prove the Inverse Function Theorem, which guarantees the existence of local diffeomorphisms under appropriate conditions, and employ it to construct a rigorous proof of Morse’s Lemma. This Lemma shows that functions of class Ck (k ≥ 3), in neighborhoods of non-degenerate critical points, can be locally expressed as quadratic forms via coordinate changes of class Ck−2.
Descrição
Referência
LEITE JÚNIOR, Alexandre Santana. O Teorema da Função Inversa e o Lema de Morse. 2025. 60 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Departamento de Matemática, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2025.
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