Navegando por Autor "Silva, Natanael Oliveira da"

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Uma breve introdução sobre medida e integração
(2025-03-19) Silva, Natanael Oliveira da; Costa, Filipe Andrade da; http://lattes.cnpq.br/1539148990127629; http://lattes.cnpq.br/1046184916089584
O presente trabalho investiga as relações preliminares da integral de Lebesgue, utilizando a teoria da medida e a σ-álgebra. Inicialmente, introduzimos as definições preliminares de conjuntos e suas operações, além da abordagem sobre classes e famílias de conjuntos, abordamos algumas proposições e definições de semi-aneis e semi-álgebras e sua generalização para contextos enumeráveis, abordamos algumas propriedades e definições de medida como foco de uma definição simplista da integração, além de uma análise das funções mensuráveis que são integráveis à Lebesgue. A seguir, mostramos a existência de sequências de funções simples sn que convergem para uma função f mensurável, permitindo que a integral de Lebesgue seja definida como o limite da integral dessas funções simples. Exploramos as propiedades das integrais para variadas hipóteses, o teorema de convegência monótona e a integral de sn sob a medida de Borel e sua comparação com a integral de Riemann para sn, enuciando que, as funções integraveis via Riemann são integraveis via Lebesgue. Com base nesses resultados, mostramos que a integral de Lebesgue estende a integral de Riemann, garantindo que qualquer função integrável no sentido de Riemann também seja integrável no sentido de Lebesgue. O objetivo deste trabalho é fazer uma breve introdução sobre as integrais de Riemann e Lebesgue, demonstrando que a integral de Lebesgue complementa a de Riemann.