Gomes, Renato TeixeiraGomes, Heloisa Cardoso Barbosa2024-07-022024-07-022024-02-29GOMES, Heloisa Cardoso Barbosa. O Teorema Egregium. 2024. 70 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Departamento de Matemática, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2024.https://repository.ufrpe.br/handle/123456789/5848Durante o desenvolvimento da geometria diferencial, por volta do século XVII, um antigo problema ocupava a mente dos matemáticos da época que era determinar se o chamado 5º postulado de Euclides era de fato um postulado ou um teorema. Tal postulado, que teve uma versão equivalente publicada em 1795, por John Playfair (1748–1819), diz que: por um ponto fora de uma reta dada, pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada". Houveram muitas tentativas de "provar"o quinto postulado, sendo que todas estas fracassaram. A resposta a esta questão foi dada anos mais tarde por Gauss, Lobachevski e Bolyai. Em sua obra Disquisitiones generales circa superficies curvas, Gauss mostra que a curvatura K(p) de uma superfície no ponto p, calculada inicialmente através do determinante da diferencial de dNp que depende das chamadas primeira e segunda formas fundamentais, depende na verdade apenas dos coeficientes da primeira forma fundamental e suas derivadas, e pode ser calculada através de uma fórmula que leva o seu nome, a chamada fórmula de Gauss. Como consequência desta fórmula, temos o chamado Teorema Egregium que afirma que a curvatura Gaussiana de uma superfície é um invariante intrínseco, isto é, não depende do ambiente a qual a superfície está e, consequentemente, é invariante por isometrias locais. Tal descoberta está intimamente relacionada com geometrias não euclidianas, visto que a geometria de uma superfície com curvatura não nula é não euclidiana. Uma consequência desse fato é que o 5º postulado é de fato um postulado e não um teorema. Neste trabalho, faremos um estudo dos conceitos necessários para a compreensão do teorema Egregium de Gauss e sua demonstração, além de algumas aplicações deste importante resultado.70 f.poropenAccesshttps://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pt_BRGeometria diferencialIsometria (Matemática)CurvaturaSuperfícies (Matemática)bachelorThesisAtribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional (CC BY-SA 4.0)https://n2t.net/ark:/57462/001300000k5qx