Uma Introdução à Equação do Calor e ao Método da Decomposição de Fourier em Processos Difusivos

Abstract

O presente estudo tem como propósito fundamental a investigação do decaimento da norma L2 relativa às soluções de equações diferenciais parciais (EDPs) associadas a fenômenos difusivos, empregando o Método da Decomposição de Fourier. Com essa finalidade, introduzem-se inicialmente definições e resultados teóricos preliminares sobre equações diferenciais parciais, leis de conservação e conceitos essenciais da análise funcional, como os Espaços Lp e os Espaços de Sobolev. Na sequência, realiza-se a dedução da solução fundamental referente à equação do calor — modelo clássico no estudo de processos de difusão —, analisando suas propriedades no âmbito de um problema de valor inicial. Destaca-se também a relevância da transformada de Fourier por meio do Teorema de Plancherel, o qual estabelece a relação entre a norma da transformada e a norma da função, constituindo um pilar fundamental para a análise do decaimento das normas L2. Finalmente, com base no Método da Decomposição de Fourier proposto por Maria E. Schonbek, examina-se o comportamento assintótico das normas L2 para as soluções de uma EDP parabólica de segunda ordem, enfatizando seus aspectos físicos e matemáticos, bem como as contribuições dessa abordagem metodológica para a mecânica dos fluidos.